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By Nicolas Bourbaki

Bourbaki Library of Congress Catalog #66-25377 published in France 1966

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1 (♥). Vero o falso? 1. Sulla singoletta esiste una sola struttura topologica. 2. In un insieme con due elementi esistono esattamente 4 strutture topologiche. 3. In un insieme finito ogni topologia ha un numero pari di aperti. 4. Su di un insieme infinito dotato della topologia cofinita, ogni coppia di aperti non vuoti ha intersezione non vuota. 2. Dimostrare che gli intervalli [a, b] ⊂ R sono chiusi nella topologia euclidea. 3. Sia X un insieme e ∞ ∈ X un elemento fissato. Verificare che T = {A ⊂ X | ∞ ∈ A oppure X − A `e finito } `e una topologia su X.

23. Sia Q ⊂ C l’insieme dei numeri complessi che sono radici di un polinomio a coefficienti razionali. Dimostrare che Q `e numerabile e dedurne l’esistenza di numeri trascendenti. 22. 24 (∗). Siano I un insieme infinito, K un campo e B una base dello spazio vettoriale KI di tutte le applicazioni f : I → K. Dimostrare che la cardinalit` a di B `e strettamente maggiore di quella di I. : considerare prima il caso in cui K `e numerabile. ) 3 Strutture topologiche Spazi topologici – Parte interna, chiusura ed intorni – Applicazioni continue – Spazi metrici – Sottospazi ed immersioni – Prodotti topologici – Spazi di Hausdorff Secondo Jean Piaget, fino all’et` a di 2 anni e 1/2 i bambini eseguono semplici scarabocchi.

F(X − A) ⊂ Y − f(A). 4. f(X − A) ⊃ Y − f(A). 5. f −1 (f(A))) ⊂ A. 6. f −1 (f(A))) ⊃ A. 2 Induzione e completezza Indicheremo con: • • • • • N = {1, 2, 3, . } l’insieme dei numeri naturali (interi positivi). N0 = {0, 1, 2, 3, . } l’insieme degli interi non negativi. Z = {0, ±1, ±2, ±3, . } l’anello degli interi. Z/n il gruppo delle classi di resto modulo n. Q, R e C i campi dei numeri razionali, reali e complessi. Assumeremo che il lettore abbia familiarit` a con il principio di induzione e le altre propriet` a dei numeri naturali.

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