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By Tomas Guardia

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Fenomenologîa del Espîritu

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La historia cultural: autores, obras, lugares

Libro que aborda el estudio de las diferentes escuelas y corrientes que en los angeles segunda mitad del siglo Xx han configurado esta disciplina, sin duda el dominio historiográfico más innovador y en el que se están produciendo los avances más destacados.

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De lo contrario si P es el punto fijo de la isometr´ıa σ. Sea p el vector de posici´on de P y definamos σ ′ = T−p σTp entonces el punto fijo de σ ′ es O, pues: σ ′ (0) = σ ′ = T−p (σ(Tp (0))) = T−p (σ(p)) = T−p (σ(p)) = T−p (p) =p−p = 0. 4. Sea σ ∈ Iso(R2 ) una isometr´ıa. Decimos que σ es una isometr´ıa con punto fijo P si σ(P ) = P . Ya vimos que siempre podemos asumir que el origen es el punto fijo de cualquier isometr´ıa con punto fijo. Recordemos que si x = (x1 , x2 ) y que y = (y1 , y2 ) son vectores en R2 el producto escalar de x y y denotado por < x, y > se define mediante la ecuaci´on: Isometr´ıas 22 < x, y >= x1 y1 + x2 y2 .

El paralelismo es otra propiedad af´ın. Esto se demuestra facilmente por reducci´on al absurdo. Sean l1 ||l2 supongamos que mediante una transformaci´on af´ın A, tal que, A(l1 ) ∩ A(l2 ) ̸= ∅ entonces existe un p ∈ A(l1 ) ∩ A(l2 ) por lo tanto p ∈ A(l1 ) y p ∈ A(l2 ). Si A−1 es la transformaci´on inversa de A entonces A−1 (p) ∈ l1 y A−1 (p) ∈ l2 lo que implicar´ıa que A(p) ∈ l1 ∩ l2 y esto es imposible ya que l1 y l2 son paralelas. Con esto demostramos que. 3. Las transformaciones afines preservan el paralelismo.

Sea l ∈ R2 una recta que tiene por ecuaci´on ax +by = c y sea L una transformaci´on lineal entonces L(c) = L(ax+by) = aL(x)+bL(y). Tomando x′ = L(x), y ′ = L(y) y c′ = L(c) tenemos la imagen de la recta l por medio de la transformaci´on lineal L es la recta ax′ +by ′ = c′ . Por lo que las transformaciones lineales mandan rectas en rectas. 1. Las transformaciones afines mandan rectas en rectas. La incidencia de rectas tambi´en es una propiedad af´ın. Pues si p ∈ R2 es el punto de intersecci´on de las rectas l1 y l2 entonces sea A una transformaci´on af´ın.

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