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By Wolfgang Lück

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln nine bis thirteen werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

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Der Schwer-punkt von (J ist der Punkt 1 pH (Js := - - . LVi P + 1 i=l in ~q. 24) indem wir Bp(a) := as (Bp- 1 0 8(a)) fUr p 2: 1 und Bp(a) := a fUr p = 0 setzen. 25. (Baryzentrische Unterteilung). 26) durch Hp(a) := as (Bp(a) - a - H p- 1 o8(a)) fur p 2: 1 und durch Hp := 0 fUr p = O. Den elementaren Beweis des folgendes Lemmas uberlassen wir dem Leser. 27. Es ist B* eine Kettenabbildung und H* eine Kettenhomotopie B* :::::' id. h. ing(f; R) C:~r(f; R) 0 H(X)* fur jede Abbildung f: X --+ Y gilt.

Seien A ~ B ~ X Unterraume des Raums X mit A ~ BO. Dann induziert die Inklusion i: (X - A, B - A) -+ (X, B) fur aile n E Z Isomorphismen Die Grundidee des Beweises ist die Methode der- kleinen Simplices. Sei ein Element in der n-ten singularen Homologie von (X, A) gegeben. Wahle einen Zykel L~=l ri . (Ji: ~n -+ X, der es reprasentiert. Durch simpliziale Unterteilung kann man den Zykel so andern, dass er immer noch dasselbe Element reprasentiert, aber das Bild jedes singularen Simplices (Ji in X - A oder B liegt.

0,-1) (0, ... ,0,1) = (Xl, ... , Xn) , °< Xn _ Xn-l, < 1, Xn:SO. sin(7r'~) ~ , ... , xn_l·sin(7r'~) ~ ,_ Vl-x~ Vl-x~ (0, ... ,0,-1) (0, ... ,0,1) 2)) f1-::2cos (1f. l - Xn , -1 ° < Xn < , _ x n --l, Xn 2: 0. Die Abbildung f- ist homotop zur Identitat auf Sd. Das kann man sich an Bildern veranschaulichen und durch die Angabe einer expliziten Homotopie beweisen. Wir bezeichnen mit arccos: (-1,1) -~ (0,1f) den Arkus-Kosinus. Eine Homotopie h: sn-I X [0,1] -+ sn-l ist dadurch gegeben, dass man (Xl, X2, ...

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